Lineare Algebra Beispiele

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d & g h & j \end{matrix}] [\begin{matrix} a b \end{matrix}] + [\begin{matrix} A^{- 1} 0 \end{matrix}] q i

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d & g \\ h & j \end{array}] [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] + [\begin{array}{c} A^{- 1} \\ 0 \end{array}] q i$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Multipliziere

[\begin{matrix} d & g h & j \end{matrix}] [\begin{matrix} a b \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} d & g \\ h & j \end{array}] [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}]$ .

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Schritt 1.1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

2 \times 2

$2 \times 2$ and the second matrix is

2 \times 1

$2 \times 1$ .

Schritt 1.1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} A^{- 1} 0 \end{matrix}] q i

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} A^{- 1} \\ 0 \end{array}] q i$

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} A^{- 1} 0 \end{matrix}] q i

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} A^{- 1} \\ 0 \end{array}] q i$

Schritt 1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{1}{A} 0 \end{matrix}] q i

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1}{A} \\ 0 \end{array}] q i$

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{1}{A} 0 \end{matrix}] q i

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1}{A} \\ 0 \end{array}] q i$

Schritt 2

Stelle die Faktoren in

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{1}{A} 0 \end{matrix}] q i

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1}{A} \\ 0 \end{array}] q i$ um.

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + q i [\begin{matrix} \frac{1}{A} 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + q i [\begin{array}{c} \frac{1}{A} \\ 0 \end{array}]$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere

q i

$q i$ mit jedem Element der Matrix.

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} q i \frac{1}{A} q i \cdot 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} q i \frac{1}{A} \\ q i \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 3.1.2.1

Multipliziere

q i \frac{1}{A}

$q i \frac{1}{A}$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kombiniere

\frac{1}{A}

$\frac{1}{A}$ und

q

$q$ .

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{q}{A} i q i \cdot 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{q}{A} i \\ q i \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.1.2.1.2

Kombiniere

\frac{q}{A}

$\frac{q}{A}$ und

i

$i$ .

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{q i}{A} q i \cdot 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{q i}{A} \\ q i \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$q$ .

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{q i}{A} \\ 0 i \end{array}]$

Schritt 3.1.2.3

Mutltipliziere

$0$ mit

$i$ .

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{q i}{A} \\ 0 \end{array}]$

Schritt 3.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b + \frac{q i}{A} \\ h a + j b + 0 \end{array}]$

Schritt 3.3

Addiere

$h a + j b$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b + \frac{q i}{A} \\ h a + j b \end{array}]$

Schritt 4

Move all terms containing a variable to the left side.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere

$[\begin{array}{c} d a + g b + \frac{q i}{A} \\ h a + j b \end{array}]$ von beiden Seiten der Gleichung.

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] - [\begin{array}{c} d a + g b + \frac{q i}{A} \\ h a + j b \end{array}] = 0$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} a - (d a + g b + \frac{q i}{A}) \\ b - (h a + j b) \end{array}] = 0$

Schritt 4.1.3

Simplify each element.

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Schritt 4.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$[\begin{array}{c} a - (d a) - (g b) - \frac{q i}{A} \\ b - (h a + j b) \end{array}] = 0$

Schritt 4.1.3.1.2

Entferne die Klammern.

$[\begin{array}{c} a - d a - g b - \frac{q i}{A} \\ b - (h a + j b) \end{array}] = 0$

Schritt 4.1.3.2

Vereinfache jeden Term.

$[\begin{array}{c} a - d a - g b - \frac{q i}{A} \\ b - h a - j b \end{array}] = 0$